每日一课：奥数知识点 —— 电梯问题

在日常生活中，我们去商场的时候，一般都会有电梯乘坐，近年来，在行测数算中常出现关于电梯的问题，在小学奥数中，电梯问题也作为一个专题来讨论研究，我们在复习中应当努力探究其奥秘。

1、自动扶梯的速度有哪两条关系式？

与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式：

顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度

逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度

 2、自动扶梯上的行走速度有哪两种度量？

与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是"单位时间运动了多少米"，一种是"单位时间走了多少级台阶"，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，"单位时间运动了多少米"对应的是流水行程问题中的"船只顺(逆)水速度"，而"单位时间走了多少级台阶"对应的是"船只静水速度"，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即"单位时间走了多少级台阶"，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单．

扶梯级数大体可分为两类：

1. 人沿着扶梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时扶梯都是帮助人在行走，共同走过了扶梯的总级数：

（V人+V梯）*时间=扶梯级数

2. 人与扶梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。这种情况人走过的级数大于电梯的总级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数，（V人—V梯）*时间=扶梯总级

3、电梯问题需要注意哪两点问题？
电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。

有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）

例1．

自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的部分有多少级？

分析：男女与电梯均同向，属于相遇类问题，

设女孩速度为X，电梯速度为V，那么男孩速度为2X，

根据电梯级数不变得：

 27+27/（2X）*V=18+18V/X

 解得V=2X，即V电梯=V男孩

所以电梯级数=27+27=54  或18*2+18=54

另外一种方法：找出时间比，联立级数的等式

男女速度比=2：1             

男女路程比=27：18=3：2

那么时间比=1.5：2

设梯速度=V

那么有27+1.5V=18+2V

解得V=18

故S=27+1.5*18=54

还可以利用合速度比等于时间的反比（因为都共同走过了电梯级数，而此级数是恒定的）

男女速度比=2：1

男女路程比=3：2

时间比=1.5：2=3：4

和速度比等于时间的反比=4：3

（2+2）：(1+2)=4:3

所以电梯速度为2份，与男孩速度一致，

S=27*2=54

例2. 

自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,已知男孩的速度是女孩的两倍，结果男孩用了24秒到达楼下，女孩用了16秒到达楼上．问：男孩乘电梯上楼需要用多少时间？(男孩不动)

解析：1.男女速度比=2：1

     设电梯速度为V

   （2-V）*24=(1+V)*16

     解得V=4/5

     那么S=6*24/5

所求时间T=(6*24/5)/(4/5)

=36秒

1. 男女时间比=24：16=3：2

合速度比=2：3

（2-V电）：（1+V电）=2：3

解得V电=0.8

   S=16*（1+0.8）

   所求时间T=16*1.8/0.8

             =36秒

例3. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？

解析：

就不列方程了，直接用比例法了，

时间比=5：6

合速度比=6：5

男女速度比=20：15=4：3

（4+2）：（3+2）=6：5

V电梯=2份，4份为20，2份就为10，V电=10

电梯级数=（20+10）*5=150或（15+10）*6=150

例4. 

两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20 秒内男孩走27 级，女孩走了24 级，按此速度男孩2 分钟到达另一端，而女孩需要3 分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级？

解析：

先转化速度：

 V男=27*3=81级/分       V女=24*3=72级/分

 时间比=2：3

 合速度比=3：2

 速度比=81：72

 设电梯速度V

 (81-V)：（72-V）=3：2

 解得V=54

所以电梯级数=（81-54）*2

            =54级

例5. 

商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？

解析：

男女速度比=2：1

男女路程比=80：40=2：1

那么男女所用时间比=1：1

合速度比=1：1

设电梯速度V

有（40+V）*1=（80-V）*1

解得V=20

所以扶梯级数=40+20=60级