小学数学教材中蕴涵的7种常见数学思想方法

1.归纳。

归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。

小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生的人数列出算式28+（17+23）计算。这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。在这第一个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。于是，我们让学生分别算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每组的两道算式是不是相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成（a+b）+c= a+（b+c）。

这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。

2.演绎。

演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。

在推理的形式合乎逻辑的条件下，应用演绎推理从真实的前提一定能推出真实的结论。例如，知道了“三角形的内角和是180°”的结论，我们让学生据此推出或求出直角三角形两个锐角的和是90°，推出或求出等腰直角三角形的两个锐角都是45°。再如，通过归纳得到乘法分配律（a+b）×c= a×c+b×c以后，我们要求学生应用乘法分配律进行72×（30+6）、32×102、46×12+54×12、45×99+45等的简便计算，在较多的计算活动中进一步体会乘法分配律的本质，提高灵活应用乘法分配律的能力。

学生像这样根据已经获得的定义、定律、公式等，去解决一个个具体的问题，通过这样一些由一般向特殊的演绎使得抽象的数学概念、规律和原理具体化，从而促进知识的数学理解和掌握，发展推理能力和思维能力。

3.类比。

类比是由特殊到特殊的推理，具有假设、猜想的成分。同归纳一样，类比是常用的一种合情推理。类比是立足在已有知识的基础上，通过两个（或两类）及以上对象之间某些相同或相似的性质，由已经获得的知识引出新的猜测，推断它们在其他性质上的相同或相似。

运用类比的关键是寻找一个合适的类比对象（已经学过的知识或已有的方法经验），需要沟通不同维度知识的内在联系，它多发生在像整数的运算规律推广到分数这样由低维度向高维度知识的提升之处。例如，在教学“比的基本性质”时，我们先通过测量几瓶液体的质量和体积的记录，求出这几瓶液体质量和体积的比的比值，并把比值相等的比写成等式。再引导学生观察这些等式，联系分数的基本性质想一想，比会有什么性质。学生大胆猜想，将比的前项、后项同时乘或除以相同的数（0除外），看看比值有没有变化，进行验证。

学生通过类比的方式，将分数的基本性质迁移、推广到比的基本性质，不仅使所学的数学知识容易理解，更能感受到数学知识的连续性。

4.分类。

分类是以比较为基础，按照数学研究对象本质属性的相同点和差异，将数学对象分为不同的种类。

对数学对象的分类，必须科学、统一，每一次划分时，分类的标准只能是一个，不能交叉地使用几个不同的标准，要使分类既不重复也不遗漏。例如，根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。再如，非零自然数，以约数的个数可以分为质数、合数和1三类，以是否是2的倍数则可以分为奇数和偶数两类。

通过分类，学生可以体会和理解不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构，使所学的数学知识条理化。

5.转化。

数学知识是一个整体，它的各部分之间相互联系，有时也可以相互转化。转化可以将数的一种形式转化为另一种形式，一种运算转化为另一种运算，一个关系转化为另一个关系，一个量转化为另一个量，一种图形转化为另一种或几种图形，使一种对象在一定条件下转变为另一种研究对象。

为了有利于学生学习和研究，我们注意将新知识转化成学生已经学过的知识，将较为复杂的问题转化成比较简单的问题，例如把小数乘法的计算转化为整数乘法的计算，把分数除法的计算转化为分数乘法的计算，把不规则图形的面积计算转化成规则图形的面积计算。实际上，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形面积计算公式的推导，我们都是通过变换原来的平面图形，帮助学生把对“新”图形的认知转化成对“旧”图形的改造与提升，在“新”“旧”知识的联系中寻找到解决“新”知的方法。研究平行四边形面积的计算时，我们把一个平行四边形“剪”“拼”转化成长方形来计算面积；研究三角形、梯形面积的计算时，我们把两个相同的三角形、两个相同的梯形分别拼成一个平行四边形来计算面积；研究圆面积的计算时，我们把一个圆平均分成16、32、64份，剪开后拼成一个近似的平行四边形，并由此想象无限细分下去，拼成的图形就接近于长方形，可以通过拼成的长方形来计算面积。这样，就将原来的图形通过剪、拼等途径加以“变形”，化难为易。

不仅如此，我们还专设一个单元教学用转化的策略解决实际问题，凸显转化在数学学习中的地位，帮助学生进一步体会转化思想方法的价值。

6.符号化。

符号是人类文明发展的重要标志之一，而数学的基本语言就是文字语言、图像语言和符号语言，其中最具数学学科特点的是符号语言。实现符号化，需要经历“具体—表象—抽象—符号化”的过程。

把客观现实中存在的事物和现象以及它们之间的相互关系抽象概括为数学符号和公式，不仅要把实际问题用数学符号表达出来，而且要充分把握每个数学符号所蕴涵的丰富内涵和实际意义，这对于小学生来说，并不是一件容易的事，必须逐步地提高他们的抽象概括水平。我们从一年级就开始用“ □ ”或“（ ）”代替具体的数乃至变量，让学生在2 +（ ）= 10、8 +□=15、□>42>□等算式中填上合适的数，引导学生联系自己身边的事物，通过观察、操作等活动，初步感受符号的意义，逐步体会用符号表示数的作用。

在四年级教学平面图形的面积公式时，我们不仅引导学生归纳出面积计算公式，还用字母表示，引导学生体会用字母表示计算公式的简便和优越。教学加法和乘法运算律时，鉴于学生对符号有了比较充分的认识，就不再用纯文字的形式而直接用含有字母的式子表示这些定律，不仅使得规律的表达更加准确、简明、形象，更便于学生掌握，而且也使学生感受到用字母表示定律的意义。

到了五年级，学生开始正式学习用字母表示数，从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，初学时会感到困难，又引导他们经历用字母表示数的抽象与概括过程，初步学习并理解用含有字母的式子表示数量关系，体会符号化的简洁与准确，不仅为列方程解决实际问题做好准备，更为进入中学后代数等知识的学习打好基础。

7.数形结合。

数学是研究数量关系和空间形式的科学，数形结合就是根据数量与图形之间的关系，借助“形”的直观来表达数量关系，运用“数”来刻画、研究形，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来考虑，通过“以形助数”或“以数解形”使抽象思维与形象思维结合起来，将复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到解决问题的目的。

根据知识的特点和小学生的思维发展水平，我们主要通过线段图、长方形面积图、树形图等，把一定的数量关系形象直观地表达出来，帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间存在的联系，以形助数来化隐为显、化难为易。例如，“一条裤子28元，上衣的价钱是裤子的3倍”，求买一套衣服要多少元，题里只有两个已知条件，其中一个条件“28元”在解题时要连续使用两次，三年级学生理解时有一定的困难。我们引导学生画线段图帮助理解题意，研究数量之间的关系。根据这几种画法，很容易想到求这一套衣服的价钱只要把裤子的价钱加上上衣的价钱，上衣的价钱（28元的3倍）还不知道，需要先算出来。特别是根据后两种画法，学生还会想到这一套衣服的价钱就是上衣的价钱（28元）的（1＋3）倍，探索出解决这一实际问题的不同方法。

在帮助学生从图形的直观特征中发现数量之间的关系，以形助数来解决实际问题的基础上，我们开始初步渗透数形结合的思想方法，主要是通过认识小数、分数和负数的教学，让学生在数轴上填数，在数轴上找出相对应的数，帮助他们在数与形的这一次重要碰撞中更好地体会数轴上的点与数之间的一一对应关系，初步体会数与形的结合；通过用数对表示位置的教学，让学生在平面图上用数对表示物体的位置，说出平面图上数对所在的点表示的物体，帮助他们体会平面上的点与数对之间的一一对应关系；通过正比例图像的教学，让学生体会正比例关系的图像是一条直线，同时，利用图像根据其中一个量的值估计另一个量的值，既将抽象的数学概念、数量关系直观化和形象化，又借助形象的图像来理解抽象的正比例关系问题，努力使学生抽象思维和形象思维的发展结合起来。

在小学数学教材中，我们还适时蕴涵了函数、集合、统计等现代数学思想。有关这方面的讨论较多，限于篇幅，不再赘述。